Математические модели
Идея физического моделирования не исчерпывает весь арсенал методов и средств отработки СТС и повышения ее эффективности. Все чаще в практику их отработки внедряются математические модели. Естественно, это справедливо для условий, когда известен оператор исследуемого процесса. С учетом этого в общем виде математическую модель можно представить как
Y = АХ,
где Y, X — два вектора, первый из которых характеризует выход, а второй — вход системы; А — оператор. Тогда из сферы исследования непосредственно исключается не только физическая модель, но и сам объект. Они становятся лишь источником информации, используемой для определения и уточнения вида модели.
Математическая модель описывает структуру функциональных связей между варьируемым составом значимых факторов и выходным качеством процесса. При этом вход и выход модели должны находиться в математическом равновесии, состояние которого может быть как статическим, так и динамическим.
Успех моделирования определяется удачным выбором характеристики, определяющей выходное качество процесса, состава значимых факторов и формы функционально-логических связей между ними. Проводя анализ различных видов модели, определяют степень влияния вносимых в модель изменений на качество ее функционирования.
Весьма важно при моделировании выявить состав значимых факторов и установить условия, влияющие на характеристику, подлежащую оптимизации. Состав значимых факторов обусловлен свойствами самой системы и его необходимо выявлять самым тщательным образом, так как поспешность в этих вопросах всегда приводит к ошибкам. Однако чем больше факторов включается в модель, тем сложнее ее решение. Поэтому важно также своевременно исключить из программы испытаний факторы, влияние которых на исследуемый процесс пренебрежимо мало или их эффект соизмерим с ошибкой аппроксимации.
Основные вехи на пути создания математических моделей заключаются в том, что путем анализа априорных данных изучаются основные свойства и характер поведения системы, возможность применения аналитических методов или законов, устанавливающих совокупность структурных связей между всеми переменными исследуемого процесса. Затем на основе накопившейся информации строится предварительная модель, результаты исследования которой должны находиться в непосредственном соответствии с поведением натурного объекта. Всякое заметное несоответствие их свойств устраняется путем модификации модели, ее совершенствования. Практически этот процесс должен идти непрерывно. Если для физических моделей важно сохранить физическое подобие натуре, касаясь не только выходных характеристик, но и основных внутренних свойств системы, то для математических моделей, как правило, важно сохранить только подобие реакции «выхода» на «вход».
При разработке математических моделей необходимо:
• выявить состав управляемых и неуправляемых переменных;
• определить границы изучаемого процесса;
• определить глубину детализации процесса;
• установить физические ограничения на разработку;
• установить характер управления процессом (в статическом или динамическом режиме работы);
• определить требуемую точность моделирования;
• наметить пути дальнейшего совершенствования моделей.
Моделирование развивается по пути создания детерминированных и вероятностных моделей, для которых структурные связи могут быть стохастическими и детерминированными. Детерминированные и вероятностные процессы в свою очередь могут быть описаны соответственно детерминированными и вероятностными моделями и наоборот.
К недостаткам моделей можно отнести следующее: во-первых, они всегда являются приближенными и, во-вторых, при разработке моделей требуется весьма точная и достоверная информация. Причина этих недостатков может заключаться в следующем:
• неудачно выбрана выходная характеристика, определяющая качество исследуемого процесса;
• выбор состава значимых факторов строится на приближенных методах, не учитывающих физические особенности процесса;
• оценка адекватности разрабатываемой модели может быть недостоверной;
• некоторые из значимых факторов могут оказаться качественными, не имеющими количественного выражения;
• не всегда удается подобрать приемлемую математическую форму связи, отражающую без существенных упрощений реальный процесс;
• в ряде случаев по тем или иным причинам разработчик модели и сам не стремится к обеспечению высокой точности, руководствуясь решением, скажем, только первоочередных задач и Т. Д.
Например, если рассмотреть некоторые уравнения из теории жидкостно-ракетных двигателей (ЖРД), устанавливающие критерии физического состояния жидкости или газа, а также зависимости для основных параметров, то можно придти к выводу, что это и есть математические модели. Однако их точность зависит от степени идеализации исследуемого процесса и точности измерения самих параметров, включенных в модель. Дело в том, что в ряде случаев параметры аналитических моделей не всегда удается измерить, а на реальных объектах ими сложно или невозможно управлять. Это и составляет основную трудность использования аналитической модели в факторном эксперименте. При этом необходимо отметить, что рассматриваемые модели, как правило, не учитывают конструктивные особенности исполнения изделия, условия его эксплуатации. В числе этих особенностей можно указать на всевозможные потери по газодинамическим трактам, а также неточность определения коэффициента полезного действия (КПД) насосов и турбин расчетным путем. То же самое можно сказать о влиянии внешней среды, органов управления и т. п.
Поэтому на практике аналитические модели обычно используют для соответствующих расчетов и моделирования в процессе проектирования при выборе нескольких исходных вариантов двигателя. Но когда решается вопрос совершенствования штатной конструкции в ходе экспериментальной отработки, аналитические модели могут оказаться непригодными. Для того чтобы аналитическая модель служила указанным целям, она должна учитывать конструктивные решения и влияние внешних и внутренних факторов. А это пока удается осуществить лишь на основе обработки экспериментальных данных.
Если речь идет о разработке математической модели, удовлетворяющей основным требованиям практики, то важно отметить следующее. В качестве выходной характеристики исследуемого процесса необходимо использовать параметры, определяющие качество СТС или ее надежность. В целом степень конструктивного совершенства СТС оценивается достигнутым уровнем надежности, величинами основных параметров, технологичностью исполнения, минимальными массами конструкции и высокими эксплуатационными свойствами. Поэтому, когда требуется оценить данные показатели, то в качестве выходной характеристики следует использовать не одну, а несколько видов моделей, каждая из которых служит определенным целям. В ряде случаев с достаточной степенью точности модель может выражаться уравнением регрессии:
п п
У = X Ьіхі + X bijxixj + 6 ’
/=1 i< j
где by — коэффициенты регрессии; х,…,хп — варьируемые факторы; е — средняя ошибка аппроксимации.
В данном случае варьируемыми факторами, например для ЖРД, могут быть давления на входах в двигатель по трактам горючего и окислителя, температуры компонентов топлива, давление в камере сгорания, коэффициент соотношения компонентов топлива, секундный расход компонента, впрыскиваемого в закритическую часть сопла, и другие факторы. Представленная модель будет справедлива для некоторой определенной конструктивной схемы двигателя. При этом особенности конкретного ЖРД будут определяться соответствующими коэффициентами регрессии. При изменении конструкции некоторых агрегатов должны изменяться соответствующим образом и коэффициенты модели. В некоторых случаях могут появиться новые переменные, их взаимодействия, а также может измениться сама форма связи и т. д.
Достоинство таких моделей заключается в учете особенностей конкретной конструкции и самого исследуемого процесса, в учете факторов, определяющих условия испытаний. Все факторы управляемы и регистрируются средствами измерений. Иногда в процессе отработки двигателя для каждой конструктивной схемы разрабатываются свои модели, сопоставление и анализ которых позволяют оптимизировать исследуемый процесс. Если же необходимость в натурных экспериментах существует, то математические модели позволяют разрабатывать оптимальные планы и программы испытаний, осуществлять текущий прогноз основных характеристик и т. д.
В математических моделях совокупность свойств и критериев одного плана используется для отражения совокупности свойств и критериев совершенно иного плана. При этом совокупность физических свойств может представляться символически в виде набора цифровых знаков, буквенных обозначений и т. п. Модели такого рода принято называть символическими.
Символические модели представляются, как правило, совокупностью условно записанных систем уравнений и неравенств, описывающих математическую структуру исследуемого процесса. В отличие от символических моделей, аналоговые модели позволяют исследовать реальный процесс с помощью моделей другого аналогового процесса, подобного натурному. Например, гидравлический поток может характеризовать поток электронов. Соответственно модель, описывающая траекторию полета одной ракетной системы, принимается за аналоговую при моделировании другой и т. п. Однако перенесение аналоговой модели на исследуемый процесс может потребовать изменения соответствующих коэффициентов. В целом аналоговые и символические модели составляют основу математического моделирования.
При условии разработки достаточно точных моделей исследуемых процессов реализация любого вычислительного эксперимента не составляет особого труда в сравнении с теми затратами средств и времени, которых требует натурное испытание. Сложность моделирования состоит в разработке соответствующих моделей и отладке вычислительных программ, достаточно точно отражающих реальный процесс. Математические модели делятся на конструктивные и описательные, т. е. на модели первого и второго родов. Модели первого рода являются средством постановки активного эксперимента. На практике при моделировании физических процессов чаще всего используются символические конструктивные модели, обладающие достаточной эффективностью и простотой в операционном отношении.
Большое практическое значение в процессе проектирования и на начальных этапах разработки сложных технических систем приобрели аналитические символические конструктивные модели в комплексе с так называемыми эмпирическими моделями. Под эмпирическими моделями в данном случае понимают всякого рода зависимости, полученные на основании анализа и обработки экспериментальных данных.